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固定收益证券Chapter5-2

固定收益证券Chapter5-2

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债券的久期
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久期 修正久期 有效久期 浮动利率债券的久期 资产组合的久期 关键利率久期

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久期的含义
久期(duration)也称为麦考利期限,也 有将其译为持续期。它是衡量债券价格 风险的重要指标,用以测度债券的利率 敏感性:收益率的变化会导致债券价格 P: 价格 Y: 收益率 发生怎样的变化? D=-(?P/P)/[?(1+Y)/(1+Y) ] =-(?P/P)/[?Y/(1+Y) ] ?P/P=[-D/(1+Y) ] ×?Y

久期的推导
一张T年期债券,t时刻的现金支付为CFt(1≤t≤T), 与债券的风险程度相适应的收益率为y。则债券的价 格为:
CFt P?? t t ?1 (1 ? y )
T

?tCFt 1 T tCFt dP / dy ? ? ?? ? t ?1 t (1 ? y ) 1 ? y (1 ? y ) t ?1 t ?1
T

? 1 ? T tCFt (dP / dy )(1/ P) ? ? (1/ P) ? ? ? t 1 ? y ? t ?1 (1 ? y ) ?

continued
债券久期为:
tCFt D ? 1/ P? t (1 ? y ) t ?1
T

D ?

? t ?w
t ?1

T

t

wt ? CF t (1 ? y )
Pr ice ?
T t ?1

t

Price

t ? ? (1 ? y ) ? ?CF t ?

continued
债券久期为:

tCFt D ? 1/ P? t t ?1 (1 ? y )
Macaulay(麦考利)久期是债券现金流(每期息票 利息或本金支付)时间的加权平均,权重是每一时点 的现金流的现值在总现值(即债券价格)中所占的比 例。它是债券的有效到期时间。
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T

Example
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例10:面值1000元,到期期限2年,半 年付息,票面利率为8%和零息票两种债 券,到期收益率10%。下表给出了这两 种债券久期的计算。

名称 债券A 8%债券

(1) (2) (3) 至支付的 支付/元 现值/元 时间/期
CF/(1+y)t

(4) 权重

(3)/P

(5) (1)×(4) 久期

1 2 3 4

40 40 40 1040

总计
债券B 零息票债券 1~3 4 总计 0 1000

38.095 0.0395 0.0395 36.281 0.0376 0.0752 34.553 0.0358 0.1074 855.611 0.8871 3.5484 964.540 1.0000 3.7705 0 822.70 822.70 3.7705/2=1.8853 0 0 1.0 4 1.0 4/2=2

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结果表明,零息票债券的久期就等于它的到期 期限,而息票债券的久期比它的到期期限短, Why? 思考:在上面的例子中,2年期息票债券的久 期(年)为1.8853。如果有期限为1.8853年的 一张零息票债券,两者的利率敏感性是否相同? 思考:结合上例,如何来理解久期与到期期限 的区别?

久期与到期期限
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我们知道,到期期限是影响利率敏感性的一个 重要指标(越长,敏感性越大),但用其作为 测量利率敏感性大小的指标是不完善的。对于 无期权的息票债券而言,久期是债券对利率变 动敏感性的更高的测度标准,它同时考虑了多 种因素,诸如息票支付的规模、时间以及利率 (到期收益率)水平。 到期期限仅考虑最后的现金流,而久期是债券 各期现金流的有效到期时间。 久期不同于到期期限,它将告诉我们对于一给 定的到期收益率的变动,债券价格的大致变动

Why duration is important?
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Measures the interest rate risk of a bond Allows comparison across bonds that differ in coupon rate, yield and maturity An essential concept in bond portfolio management, particularly in immunization strategies (protecting bond portfolios from interest rate risk)

Macaulay久期法则
影响利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和 到期收益率。以下的法则归纳了久期与这三个因素之间 的关系。 久期法则1:零息票债券的久期等于它的到期时间。 久期法则2:保持其他因素不变,票面利率越低,息 票债券的久期越长。 久期法则3:保持其他因素不变,债券的到期收益率 越低时,息票债券的久期越长。 久期法则4:保持其他因素不变,债券的久期通常随 着债券到期期限的增加而增加,但久期的增加速度慢于 到期期限的增加速度。

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思考:将下列两类债券按久期长短排序。 1. 债券A:息票率为8%,2 0年到期,按 面值出售。债券B:息票率为8%,2 0年 到期,折价出售。 A: YTM=8%, B: YTM>8%(可能是信用风险不同) A的久期长于B的久期

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2. 债券A: 2 0年期,不可赎回债券,息 票率为8%,按面值出售。债券B: 2 0年 期,可赎回债券,息票率为9%,也按面 值出售。 息票率:A<B,A的久期大于B的久期; B可赎回,期限可能短于20年,A的久期 大于B的久期。 所以,A的久期大于B的久期。

久期法则5:息票债券的久期可用下式简化计算
1 ? y 1 ? y ? T (c ? y ) ? y c[(1 ? y )T ? 1] ? y

这里,c为每期票面利率,T为支付次数,y是每 期到期收益率。 久期法则6:当息票债券以面值出售时,票面利 率与到期收益率相等,法则5可简化为
1? y 1 [1 ? ] T y (1 ? y )

久期法则7:固定期限年金(无本金偿还)的久期由下式 给出: 1? y T ? y (1 ? y )T ? 1

这里,T为支付次数,y是每个支付期的年金收益率。
久期法则8:无限期债券(永续年金)的久期为:
1? y y

Example
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例11-1:面值为100元,票面利率为8% 的三年期债券,半年付息一次,下次付 息在半年后,年到期收益率为10%,计 算它的久期。 解:
1 ? 5% (1 ? 5%) ? 6 ? (4% ? 5%) D(半年) ? ? ? 5.4349 6 5% 4% ? ? ?(1 ? 5%) ? 1? ? ? 5%

即:久期(年)=2.7175

Continued
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例11-2:假设其平价出售,则到期收益 率为8%,久期(半年)为:
1 ? 4% 1 [1 ? ] ? 5.4518 6 4% (1 ? 4%)

?

即:久期(年)=2.7259。

Continued
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例11-3:假设11-1中该债券无本金偿还, 是3年期的每半年支付一次的普通年金, 求久期(半年)
1 ? 5% 6 ? ? 3.3579 6 5% (1 ? 5%) ?1

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例11-4: 如果假设是永续年金,求久期 (半年) 1 +5%
5% =21

修正久期(Modified Duration)
久期公式推导中有式
?P ? D ? ? ?y P 1? y

令D*=D/(1+y),上式可以写为
?P ? ? D * ?y P

通常定义D*=D/(1+y)为“修正久期” 。上式表明,债券价 格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率变 化(绝对额)的乘积。因此,修正久期可以用来直接测 度债券在利率变化时的风险暴露程度。

Modified Duration/Price Relationship
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Modified Duration can be used to estimate the percentage change in price for a given change in yield:

?P * ? ?D ? ?y P
Example: y = +100 basis points, D* = 5 ?P/P = - 5 x 0.01 = -0.05 or –5%

可赎回债券的久期
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对于以可赎回债券为代表的具有“内含 期权”的债券,要根据麦考利的定义来 分析他们的久期是比较困难的。主要原 因在于:由于期权的存在,未来现金流 变得不可测知。现金流的随机性,使我 们无法对未来现金流的时间做加权平均, 也就无法计算麦考利久期。

有效久期
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华尔街的惯例是计算内含期权债券的有效 久期(effective duration) 有效久期定义为债券价格变化率与市场利 率变化量之比 有效久期=-(?P/P)/?r

Example
例13:假设有一种赎回价格是1050美元的可赎回 债券以980美元的价格出售。如果市场利率上升 0.5%,债券价格降至950元;如果下降0.5%,债 券价格升至1030元。计算有效久期。 ? ?r=0.5%- (-0.5%)=1%=0.01 ?P=950-1030=-80美元 有效久期(年)=-(?P/P)/?r=-(-80/980)/0.01 =8.16 当前利率变化1%将引起债券价格变化8.16%(近似解)
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思考:有效久期与修正久期、麦考利久 期的区别? ? 有效久期是一种解决内含期权的市场 近似定价方式,而修正久期和麦考利 久期是根据确定的现金流、时间和到 期收益率按照久期定义精确求出。

浮动利率债券的久期
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每隔一定期限重新设定票面利率的浮动利率债 券,等同于同样期限的零息债券。 10年期浮动利率票据,票面利率半年浮动一次, 现在的利率为4.5%,半年期息票刚刚被确定, 此时久期为半年。后面是浮动的, 还没有固定 下来, 所以利率变化对这部分价格没有影响。 每次利率刚刚被固定的时候久期最长,为利率 重设期限,之后慢慢变小, 在利率固定之前久 期最短,为0。

资产组合的久期
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资产组合的久期是个别债券的久期以价值为权 重求得的加权平均值。

例12:投资组合包括三种债券,已知各债券的市场价
值和修正久期
组合的价值变化(?P) =-当前市场值(P)×组合的修 正久期(D*)×收益率变化值(?y)
债券 当前 市值 A B C 50 000 78 900 21 100 权重 修正 久期 0.33 0.53 0.14 1.00 4.83 5.17 7.49 加权 值 1.61 2.72 1.05 5.38 收益率 价值 变化 变化 -0.5% -0.5% -0.5% -0.5% 1206.50 2039.17 789.77 4035.44 收益率 价值 变化 变化 -0.5% -0.6% -0.1% 1206.50 2447.00 -157.95 3495.55

总额 150 000

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只有投资组合中所有债券的市场要求收 益率都发生相同幅度的改变时,在计算 组合价值变化时,加权平均的修正久期 才适用。当收益率变化对不同的债券不 同,则组合的价值变化不能用组合的修 正久期计算。

利用久期估计价格波动
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例13:一债券面值为100元,票面利率为8%, 到期时间为5年,半年付息一次,到期收益率 为8%,利用久期计算收益率变动1个、100个 基点时,债券的价格波动(久期可采用简化计 算公式)。

解: D (半年) = [(1+4%)/4%][1-1/(1+4%)10]=8.4353 D* (半年) =8.4353/(1+0.04)=8.1109 1)上升1个基点,从8%-8.01%, ?P/P ? -8.1109×0.005%=-0.0406% 2)下降1个基点,从8%-7.99%, ?P/P ? -8.1109×(-0.005%)=0.0406% ? 实际波动百分比分别为-0.0405%和0.0406%,与利用修 正久期计算的结果基本一致。
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3)上升100个基点,从8%-9%, ?P/P ? -8.1109×0.5%=-4.0555% 4)下降100个基点,从8%-7%, ?P/P ? -8.1109×(-0.5%)=4.0555% ? 实际波动百分比分别为-3.9564%和4.1583%, 当收益率变动较大时,利用修正久期计算的结 果与实际相差较大。 ? 利用久期估计不能体现价格波动的不对称性。

作业
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1. 一种收益率为10%的9年期债券,久期 为7.194年。如果市场收益率改变50个基 本点,债券价格改变的百分比是多少? 2. 已知一种面值为1000元,息票率为 6%的债券每年付息,如果它离债券到期 还有三年且到期收益率为 6%,求该债 券的久期。如果到期收益率为10%,久 期又为多少?

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3. 一种债券的息票率为6%,每年付息,修正 久期(年)为10,以800元售出,按到期收益 率8%定价。如果到期收益率增至9%,利用 久期的概念,估计价格会是多少?



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