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北京师范大学《教育统计学》第九章 总体比率的推断2 20101129111907843

北京师范大学《教育统计学》第九章 总体比率的推断2   20101129111907843

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二、查表法
例1:有研究者从7岁儿童中随机抽取了100名被 试进行了一项智力测查,结果发现,IQ在70分以下 的(弱智)有2人,试估计7岁儿童从总体上看弱智

的发生率是多少?

解:
因为n=100,X=2,查附表6.2,得

总体比率0.95的置信区间为0~7%,0.99的置信
区间为0~9%。 因此,可以说,7岁儿童中弱智比率有95%的可 能在0~7%之间,有99%的可能在0~9%之间。

例2:
有研究者向某中学65名教职员工调查关于采取
聘任制的意见,其中有28人表示赞同,试估计中学 教职员工赞成聘任制的比率。

解:
先根据n=60,X=28查表,得0.95的置信下限和置 信上限分别为34和60。

然后根据n=70,X=28查表,得0.95的置信下限和 置信上限分别为29和52。
因此,当n=65,X=28时,其0.95的置信下限为:

(60—70):(34—29)=(60—65):(34—p1)
10(34—p1)=5×5 p1=31.5

其0.95的置信上限为:
(60—70):(60—52)=(60—65):(60— p 2) 10(60—p2)=5×8 p2=56 以同样的方法可以计算出0.99的置信下限和置 信上限为27.5和60。 即中学的教职员工赞同聘任制的比率有95%的 可能在31.5%~56%之间,有99%的可能在27.5%到 60%之间。

第三节

总体比率的假设检验

总体比率的假设检验是检验样本比率与某个总
体的比率之间差异是否显著。 总体比率的假设检验同样也有正态近似法和查 表法两种。

一、正态近似法
当p=q,无论nd的大??;或者虽然p≠q,但np和

nq都≥5,这时p―pˊ的抽样分布接近正态分布,
因此,可以对样本比率与总体比率的差异进行Z检验。 例如,已知某年某区高考升学率为75%,某校在 这一年有300名学生参加了高考,最后有210人被高 校录取,问该校的升学率与全区的升学率是否相同?

解:第一步:提出假设

H 0:p? ? 0.75

H1:p? ? 0.75

第二步:计算p与pˊ的差(即p―pˊ)与抽样 分布的平均数(即0)的距离有多远(这个差距除以 标准误,就变成了用Z表示)。

p ? p? 210/ 300? 0.75 Z? ? ? 2.00 p?q? 0.75? 0.25 n 300

第三步:统计决断

因为Z=2.00*>1.96=Z0.05/2,p<0.05,所以拒绝零
假设,接受备择假设,即该校这一年高考的升学率

与全区的升学率有显著的差异。由实际的数据来看,
该校这一年高考的升学率低于全区。

二、查表法
当p≠q,np<5,这时p―pˊ的抽样分布不接近

于正态分布,因此,不能对样本比率与总体比率的
差异进行Z检验,而应该用查表法进行显著性检验。 例如,已知某区学习障碍儿童的比率为8%,通

过调查得知某班45名学生中有学习障碍的学生共3人,
问该班学习障碍学生的比率与全区是否有差异?

解:
通过查表得知该班学习障碍学生的比率所属总 体比率0.95的置信区间为2%~18%。 将实际的总体比率与查表等到的置信区间进行 比较,实际的总体比率在置信区间内,所以要保留

零假设,拒绝备择假设,也就是说,该班学习障碍
学生的比率与全区没有显著性差异。

第四节

总体比率差异的显著性检验

总体比率差异的显著性检验是根据两个样本的 比率来检验两个相应总体的比率是否存在显著性差

异。由于样本性质不同,其检验方法也不同。

如果总体比率未知,又假设这两个样本来自同
一个总体(即p1ˊ=p2ˊ=pˊ),那么总体比率可以 用两个样本比率的加权平均数作为估计量,即

n1 p1 ? n2 p2 p? n1 ? n2

n1 q1 ? n2 q 2 q? n1 ? n2

则得比率差的标准误的估计量为:

S P1 ? P2 ?

pq pq ? n1 n2

(n1 p1 ? n2 p2 )(n1q1 ? n2 q2 ) ? n1n2 n1 ? n2) (

当两个样本的容量相等时,上式可以化简为:

S P ?P
1

2

( p1 ? p2 )(q1 ? q2 ) 2 pq ? ? n 2n

因此,总体比率差异的检验统计量为:

Z?

p1 ? p2 (n1 p1 ? n2 p2 )(n1q1 ? n2 q2 ) n1n2 (n1 ? n2 )

第二步:计算检验统计量的值 因为

p1 ? 20 / 46 ? 0.4348
q1 ? 1 ? 0.4348? 0.5652

p2 ? 33/ 48 ? 0.6875
q2 ? 1 ? 0.6875? 0.3125
n1=46,n2=48

所以,

Z?

p1 ? p2 (n1 p1 ? n2 p2 )(n1q1 ? n2 q2 ) n1n2 (n1 ? n2 )
0.4348? 0.6875 ? 2.47 (20 ? 33)(26 ? 15) 46? 48(46 ? 48)

?

第三步:统计决断
因为Z=2.47*>1.96=Z0.05/2,p<0.05,所以拒绝零 假设,接受备择假设,即两校学生患近视的比率存在 显著性差异。 例2:关于人体血液循环的讲授,在实验组运用 条叠投影片,使学生直观形象地看到人体大小循环, 动、静脉的流动情况。在对照组由教师画图说明人体 血液循环的方向。授课结束,当堂测验的结果如下表, 问两种教学用具的效果是否有显著性差异?(教科书 第221、222页)



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